Opérateurs de Calderon-Zygmund dans un espace de type Hardy-Morrey

Résumé

Nous avons introduit un nouvel espace de type Hardy-Morrey généralisé noté H(q,p,α) en remplaçant dans la définition classique des espaces de Hardy Hq, la quasi-norme des espaces de Lebesgue Lq par celle des espaces de Fofana (Lq,ℓp)α. Le but étant d’apporter une réponse à la question des éventuels substituts des espaces (Lq,ℓp)α , pour 0 < q ≤ 1 et q ≤ α ≤ p < +∞ sur lesquels il serait possible d’étendre certains résultats de continuité de quelques opérateurs classiques connus dont le contrôle des commutateurs dans (Lq,ℓp)α, lorsque 1 < q ≤ α ≤ p < +∞. Nous avons établi que ces espaces peuvent être définis de façon équivalente par diverses fonctions maximales et qu’ils généralisent les espaces de Hardy-Morrey HMpq et, sont inclus dans ceux de Hardy-amalgames H(q,p) pour 0 < q ≤ α ≤p <+∞.Enoutre, les espaces H(q,p,α) coïncident avec les espaces de Fofana (Lq,ℓp)α lorsque 1 < q ≤ α ≤ p < +∞ et admettent des décompositions atomiques et moléculaires. Ces décompositions, nous ont permis de contrôler certains opérateurs classiques étudiés en analyse harmonique à savoir : l’opérateur de Calderon-Zygmund généralisé, les opérateurs de convolution, le Potentiel de Riesz et l’intégrale d’aire. Pour clore la série des contrôles, nous avons prouvé le contrôle dans notre espace, du commutateur de l’opérateur de Caldéron-Zygmund ainsi que celui de l’intégrale d’aire avec les éléments d’un sous-espace de BMO contenant L∞(Rd) et Lipβ(Rd) (0 < β ), désignant respectivement, l’espace des fonctions bornées sur Rd et l’espace des fonctions b, mésurables sur Rd, vérifiant ||b||Lipβ(Rd) := sup x̸=y |b(x) − b(y)||x −y|β <+∞.

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